مدار مشتق گیر RC

مقدمه

در وبلاگ‌های پیشین با عملکرد مدارهای شارژ و دشارژ شبکه‌ی RC سری آشنا شده‌ایم. علاوه بر این، مدار انتگرال گیر RC را با ورودی ولتاژ پله‌ای و خروجی مثلثی شکل بررسی کردیم. در نهایت عملکرد مدار انتگرال گیر دوگانه را بیان کردیم که یکی از ساده‌ترین مدار تولید موج سینوسی شکل است.

حال در این وبلاگ، با مدار مشتق گیر RC غیرفعال آشنا خواهیم شد. در این مدار بر خلاف مدار انتگرال گیر، ورودی به خازن اعمال شده و ولتاژ خروجی از مقاومت گرفته می‌شود.

مدار مشتق گیر RC

همانند مدار انتگرال گیر، ولتاژ خروجی وابسته به ثابت زمانی مدار RC و فرکانس ورودی است. بنابراین، در فرکانس‌های ورودی کم، راکتانس Xc خازن بالا بوده و مؤلفه‌ی DC سیگنال‌های ورودی را حذف می‌کند. 

اما در فرکانس‌های بالا، راکتانس خازن کم است و به پالس‌هایی با تغییر سریع، اجازه می‌دهد که به طور مستقیم و بدون تغییر شکل، از ورودی به خروجی بروند.

دلیل این امر متفاوت بودن نسبت راکتانس خازنی Xc به مقدار مقاومتی R در فرکانس‌های مختلف است. هرچه فرکانس کم‌تر باشد؛ خروجی مدار نیز کم‌تر خواهد بود. برای یک ثابت زمانی مشخص، هرچه فرکانس پالس‌های ورودی افزایش یابد؛ پالس‌های خروجی بیشتری از نظر شکل به پالس‌های ورودی شباهت خواهند داشت.

اگر سیگنال ورودی، یک موج سینوسی باشد؛ مدار مشتق گیر RC به‌عنوان یک فیلتر بالاگذر ساده (HPF) عمل کرده و فرکانس قطع آن با ثابت زمانی RC شبکه‌ی سری، مطابقت خواهد داشت.

بنابراین، هنگامی که ورودی مدار یک موج سینوسی شکل باشد، مدار مشتق گیر RC به عنوان یک فیلتر بالا‌گذر غیرفعال ساده، به دلیل فرمول راکتانس خازنی استاندارد XC=1/(2пfC)، عمل می‌کند.

اما یک شبکه‌ی RC ساده، می‌تواند برای انجام عمل ریاضی مشتق گیری سیگنال ورودی، پیکربندی شود. از وبلاگ‌های پیشین می‌دانیم که جریان خازن تابع نمایی پیچیده به‌صورت iC=C(dVC/dt) است. 

نرخ شارژ یا دشارژ خازن متناسب با مقدار مقاومت و ظرفیت خازنی است و ثابت زمانی مدار را مشخص می‌کند. از این‌رو، ثابت زمانی مدار مشتق گیر RC برابر با حاصل‌ضرب R و C است. مدار مشتق گیر RC شکل زیر را در نظر بگیرید.

برای مدار مشتق گیر RC، سیگنال ورودی به خازن اعمال می‌شود و خروجی از دو سر مقاومت گرفته می‌شود. یعنی Vout برابر با Vr است. از طرفی خازن یک قطعه‌ی وابسته به فرکانس است، مقدار باری که در آن ذخیره می‌شود برابر با مشتق حوزه‌ی زمان از جریان است. یعنی زمان مشخصی باید سپری شود تا خازن به صورت نمایی کامل شارژ شود. 

می‌دانیم که  Vout = VR و برای مقاومت، ولتاژ خروجی می‌تواند به صورت آنی تغییر کند. اما ولتاژ دو سر خازن وابسته به ظرفیت خازنی C،  مقداری بار Q را ذخیره کند. پس شارش جریان در خازن، یعنی it وابسته به نرخ تغییر شارژ و دشارژ است و می‌توان گفت که i=dQ/dt .

از طرفی میزان بار ذخیره شده برابر است با Q = C x VC. معادله‌ی جریان خازن را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

در نهایت جریان خازن به صورت مشتق زمانی ولتاژ ورودی بیان می‌شود:

بر اساس قانون اهم VR برابر با iR x R است و به دلیل سری بودن مقاومت با خازن، iR = iC و در نتیجه داریم:

می‌بینیم که ولتاژ خروجی مشتق مرتبه اول ولتاژ ورودی در حوزه‌ی زمان با ضریب RC است. ضریب RC نیز نشان دهنده‌ی ثابت زمانی مدار مشتق گیر RC است.

مشتق گیر RC با ورودی تک پالس مثبت

با اعمال ولتاژ پله‌ای مثبت به ورودی مدار مشتق گیر RC، خازن ابتدا در پاسخ به تغییر سریع سیگنال، به صورت اتصال کوتاه عمل می‌کند.

دلیل این امر، بزرگ بودن (در حالت ایده آل بی نهایت) مقدار شیب لبه‌ی بالارونده‌ی پالس پله‌ای است. بنابراین در لحظه‌ای که سیگنال ظاهر می‌شود؛ تمام ولتاژ ورودی در دو سر مقاومت ایجاد می‌شود. یعنی ولتاژ خروجی تقریباً برابر با ولتاژ ورودی است.

پس از لحظه‌ی ظاهر شدن سیگنال ورودی، مقدار بیشینه‌ی پالس به مدت پهنای پالس ثابت می‎‌ماند. خازن در پاسخ به پالس ورودی با نرخ ثابت زمانی RC شروع به شارژ شدن از طریق مقاومت می‌کند.

در حین فرایند شارژ خازن، ولتاژ دو سر مقاومت که همان ولتاژ خروجی است،  به صورت نمایی کاهش می‌یابد تا زمانی که خازن پس از گذشت 5 ثابت زمانی کامل شارژ شود. 

در این لحظه ولتاژ خروجی صفر می‌شود. پس ولتاژ خازن کامل شارژ شده با ولتاژ ورودی برابر می‌شود. این شرط تا زمانی که پالس ورودی تغییر نکند؛ صادق است.

حال پالس ورودی از مقدار بیشینه به صفر تغییر می‌کند. خازن در پاسخ به افت سریع سیگنال، یک پالس ضربه‌ای با ولتاژ منفی در خروجی ایجاد می‌شود. پس از این لحظه، خازن شروع به تخلیه شدن می‌کند و ولتاژ خروجی شروع به افزایش نمایی می‌کند.

پس هر زمانی که سیگنال ورودی ناگهانی تغییر کند، یک ولتاژ ضربه‌ای در خروجی تولید می‌شود. در حالت کلی، خروجی مدار مشتق گیر RC، نموداری از نرخ تغییر سیگنال ورودی است که هیچ شباهتی به پالس ورودی ندارد و شامل ضربه‌های مثبت و منفی است.

می‌بینیم که شکل موج خروجی به نسبت پهنای پالس و ثابت زمانی RC بستگی دارد. اگر RC بسیار بزرگ‌تر از پهنای پالس (بزرگ‌تر از 10RC) باشد، شکل‌ موج خروجی شبیه شکل موج ورودی است. اما اگر RC بسیار کوچک‌تر از پهنای پالس (کم‌تر از 0.1RC) باشد، شکل موج خروجی شبیه پاسخ ضربه خواهد بود.

بنابراین با تغییر ثابت زمانی مدار از 10RC به 0.1RC می‌توانیم طیفی از شکل‌ موج‌های مختلفی ایجاد کنیم. در حالت کلی همیشه از ثابت زمانی کوچک‌تر در مدارهای مشتق گیر RC استفاده می‌شود تا پالس‌های ضربه‌ای شکل در دو سر مقاومت ایجاد شود.

مثال کاربردی در مورد مدار مشتق گیر RC

فرض کنیم که دوره‌ی تناوب یک موج مربعی شکل برابر 20 میلی ثانیه است. در این صورت پهنای پالس برابر 10 میلی ثانیه است. برای پاسخ ضربه که تا 37 درصد مقدار اولیه‌‌ی خود دشارژ می‌شود، پهنای پالس باید برابر ثابت زمانی RC یعنی 10 میلی ثانیه باشد.

در مدار شکل بالا، با تغییر مقادیر مقاومت و خازن می‌توان به پاسخ مورد نظر دست یافت. برای این که خروجی شبیه ورودی باشد، ثابت زمانی باید 10 برابر پهنای پالس ورودی باشد. یعنی با خازن 1 میکروفاراد، مقدار مقاومت باید 100 کیلواهم انتخاب شود.

برای خروجی ضربه‌ای شکل، ثابت زمانی باید 0.1 برابر پهنای پالس ورودی باشد که در این مثال، مقدار مقاومت باید برابر 1 کیلواهم باشد. پس شکل موج خروجی وابسته به مقدار ثابت زمانی RC است.